Audi A3 Sportback 8P, Motor BSE Getriebe auf 6.Gang umbauen

Meine Frau hat eben diesen A3 8P mit einem 5.Gang Getriebe. Ich würde das gerne auf ein 6-Gang Getriebe umbauen da es mich nervt mit hoher Drehzahl zu fahren. Da wird das Auto einfach sehr laut. ISt das möglich? Was sind die Erfahrungen und Tipps und welches Getriebe kann ich sinnvoll einbauen. Teile-Nr. Würde mich sehr freuen meinem Mädl hier eine Überraschung zu bereiten. Muss ich das auch eintragen oder merkt das eh kein TÜV-ler. Bin aus Österreich und das Auto ist in Deutschland gemeldet daher die „dumme“ Frage.